О некоторых классах дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих бесконечные серии симметрий и законов сохранения - page 6

Н.Г. Хорькова
Производящая функция симметрии линеаризованного уравнения
имеет вид:
31 = ( 2 + 1) 1 + 2 − .
3. Поворот в плоскости ( , ). Вычисления аналогичны проведен-
ным в пп. 1, 2. Производящая функция симметрии линеаризованного
уравнения имеет вид:
32 = 1 + ( 2 + 1) 2 − .
Таким образом, линеаризованное уравнение (3) имеет три опера-
тора рекурсии:
= ¯ − ¯ ,
1 = (1 + 2 ) ¯ + ¯ − ,
2 = ¯ + (1 + 2) ¯ − ,
для которых выполняются следующие соотношения:
[ 1 , 2 ] = , [ , 1 ] = 2 ; [ , ¯ ] = 0, ∘ ¯ = ¯ ∘ ,
где 1 = ( 2 + 1) ¯ 1 + ¯ 2 + , 2 = ¯ 1 + ( 2 + 1) ¯ 2 + .
3. Построение операторов рекурсии для уравнений, допускаю-
щих накрытие линейным уравнением. Пусть t : ˜ℰ → ℰ ∞ — накры-
тие уравнения ℰ ∞ [1, 5], причем ˜
ℰ = ℰ ′ ∞ для некоторого уравнения ℰ ′
и : Sym ℰ ′ ∞ → Sym ℰ ∞ — некоторый оператор. Тогда, если ′ — опе-
ратор рекурсии уравнения ℰ ′ ∞ , то оператор = ∘ ′ ∘ −1 должен
быть оператором рекурсии уравнения ℰ ∞ . Аналогичным образом по
оператору рекурсии уравнения ℰ ∞ можно построить оператор рекур-
сии уравнения ℰ ′ ∞. Покажем, как работают эти простые соображения
на примере уравнения Бюргерса = + .
Рассмотрим одномерное накрытие уравнения Бюргерса, задавае-
мое полями:
˜ = ¯ + 1
2
,
˜ = ¯ + 1
2 (︁ 1 +
1
2
2 )︁ .
Легко видеть, что накрывающим уравнением является бесконечное
продолжение уравнения теплопроводности = . Покажем, как
найти оператор : Sym ℰ ′ ∞ → Sym ℰ ∞ . Нелокальные симметрии в
данном накрытии имеют вид ˜ Э3,y , причем функции 3, y ∈ ∞ (ℰ ′ ∞)
удовлетворяют следующей системе уравнений ([1], [5]):
˜ (3) = 0,
˜ (y) = ˜Э3, y(︁ 1
2 )︁,
˜ (y ) = ˜Э3,y(︁ 1
2 (︁ 1 +
1
2
2 )︁)︁.
6