О некоторых классах дифференциальных уравнений в частных производных
После преобразований последние два уравнения этой системы
примут вид
˜ (
y
)
−
˜
2
(
y
) = 0
,
3
=
2
(︀
˜ (
y
)
−
y
)︀
.
Следовательно,
=
2
( ˜
−
)
.
Классические симметрии уравнения теплопроводности хорошо из-
вестны (см., например, [1, 3]). Операторы рекурсии для уравнения
Бюргерса находятся прямым вычислением:
→
1
= +
1
2
+
1
2
−
1
,
+
1
2
→
2
=
1
+
1
2
+
1
2
−
1
,
→
2
1
,
1
2
+
→
2
∘
1
,
+
2
+
(︁
1
4
2
+
1
2
)︁
→
2
2
.
Выводы.
Для применения изложенной выше методики необходи-
мо линеаризовать дифференциальное уравнение. «Классическая» ли-
неаризация представляет собой дифференциальную замену зависи-
мых и независимых переменных (таковой, например, является линеа-
ризация уравнения минимальных поверхностей с помощью преобра-
зования Лежандра). Понятие линеаризации с помощью накрытия при-
надлежит А.М. Виноградову, автору алгебро-геометрической теории
дифференциальных уравнений, который ввел понятие накрытия диф-
ференциального уравнения (см., например, монографию [1], ее пере-
вод [2] и имеющийся там список литературы). В частности, известная
подстановка Коула — Хопфа, сводящая уравнение Бюргерса к урав-
нению теплопроводности, допускает трактовку в рамках теории нак-
рытий (см., например, [1, 2]). Расширение понятия «линеаризуемого
уравнения» позволило по-новому взглянуть на задачи о линеаризации
конкретных уравнений и дало надежду получить при решении неко-
торых подобных задач положительные ответы. Отметим, что в насто-
ящее время несмотря на накопленный теоретический и эксперимен-
тальный материал, не существует теории, позволяющей эффективно
решать подобные задачи, однако нерешенные проблемы стимулиру-
ют дальнейшее развитие алгебро-геометрической теории дифферен-
циальных уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Бочаров А.В., Вербовецкий А.М., Виноградов А.М.
Симметрии и законы
сохранения уравнений математической физики. 2-е изд.
Москва, Факториал-
Пресс, 2005, 380 с.
7
