Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов - page 2

Е.Б. Павельева
2
Формула (2) упрощается, если поверхность S можно однозначно
спроектировать на одну из координатных плоскостей. Пусть поверх-
ность задана уравнением  , z z x y ,  , ,
xy x y D где xy D — проек-
ция S на плоскость . XOY Пусть частные производные  ,
x z x y и
 ,
y z x y непрерывны в области .
xy D Тогда формула  2 принимает
вид
      2 2 , , , , , 1 .
xy
x y
S D
f x y z dS f x y z x y z z dx dy       (3)
В работе [4] приведена следующая формула для вычисления
поверхностного интеграла первого рода. Пусть поверхность опреде-
ляется уравнением      
, , , , x u v y u v z u v    r i j k   2 , . u v D R 
Тогда
           
, , , , , , , , .
u v
S D
f x y z dS f x u v y u v z u v du dv    r r  (4)
2. Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, задан-
ная параметрическими уравнениями (1), и в каждой точке ориентиро-
ванной поверхности S направление нормали задано единичным векто-
ром cos cos cos .       n i j k Поверхностный интеграл второго рода
от непрерывного во всех точках поверхности векторного поля
       
, , , , , , , , x y z P x y z Q x y z R x y z   F i j k по ориентированной
по-верхности S (поток векторного поля F через поверхность S ) вы-
числяется по формуле
   
cos cos cos ,
S S S
d dS P Q R dS           F S Fn (5)
где
          cos , , , , , , ,
S D
P dS P x u v y u v z u v A u v dudv      (6)
         
cos , , , , , , ,
S D
Q dS Q x u v y u v z u v B u v dudv      (7)
           
cos , , , , , , ,
S D
R dS R x u v y u v z u v C u v dudv      , (8)
 , u v v u A u v y z y z      ,  , u v v u B u v z x z x      ,  , ;
u v v u C u v x y x y      знаки
перед интегралами определяются заданной стороной поверхности.