1
УДК 517.373
Методические аспекты вычисления
поверхностных интегралов
© Е.Б. Павельева
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе рассмотрены методические аспекты вычисления поверхностных инте-
гралов первого и второго рода. В учебной литературе по математическому анали-
зу приведены формулы для вычисления поверхностных интегралов по поверхности,
заданной параметрическими уравнениями, в громоздком и неудобном для использо-
вания виде. Большинство студентов используют только частные случаи этих
формул, которые не всегда позволяют оперативно решать задачи. В работе при-
ведены те же формулы для вычисления поверхностных интегралов, что и в учеб-
ной литературе, но записанные в простом легко запоминающемся виде. Показано,
что частные варианты этих формул непосредственно получаются в процессе ре-
шения конкретных задач. Такой подход дает возможность эффективно вычис-
лять поверхностные интегралы. Разобраны примеры вычисления поверхностных
интегралов первого и второго рода с использованием различных способов пара-
метризации поверхностей, которые подтверждают полезность предложенной
методики.
Ключевые слова
:
параметрические уравнения поверхности, главная нормаль, по-
верхностный интеграл первого рода, поверхностный интеграл второго рода
.
Введение.
В учебной литературе [1
6] по математическому ана-
лизу приведена следующая информация о способах вычисления по-
верхностных интегралов первого и второго рода.
1. Пусть
S
— кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, за-
данная параметрическими уравнениями:
, ,
x x u v
, ,
y y u v
, ,
z z u v
2
,
,
u v D R
(1)
в которых функции
,
x u v
,
,
y u v
,
,
z u v
имеют непрерывные
частные производные первого порядка в ограниченной замкнутой
области
D
и ранг матрицы
u u u
v v v
x y z
x y z
равен двум. Тогда поверх-
ностный интеграл первого рода от непрерывной во всех точках по-
верхности
S
функции
, ,
f x y z
вычисляется по формуле
2
, ,
, ,
, ,
,
,
S
D
f x y z dS f x u v y u v z u v EG F du dv
(2)
где
2
2
2
,
u
u
u
E x y z
2
2
2
,
v
v
v
G x y z
.
u v
u v
u v
F x x y y z z
