Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов
7
Первый способ.
Поверхность задана явно уравнением
2
2
.
z x y
Учитывая, что проекцией поверхности на плоскость
XOY
является круг
с центром в точке
O
и радиусом
1,
R
зададим поверхность следую-
щими параметрическими уравнениями (с параметрами ,
x y
):
,
x x
,
y y
2
2
,
z x y
,
,
xy
x y D
где
xy
D
— круг с центром
в точке
O
и радиусом
1.
R
При этом
,
x y
n
2 2
2 2
2 2
grad
,
, 1
x
y
z x y
x y
x y
и
,
x y
n
2.
Тогда интеграл
2
2
2
2
2 .
xy
S
D
x y dS
x y dx dy
Для вы-
числения двойного интеграла перейдем к полярным координатам
, .
Искомый интеграл
2
1
2
2
2
0
0
2 2
2
.
3
S
x y dS d
d
Второй способ.
С учетом того, что сечением поверхности плос-
костью
,
z C
0, 1 ,
C
является окружность радиусом ,
z
зададим
поверхность следующими параметрическими уравнениями (с пара-
метрами ,
z
):
,
cos ,
x z
z
,
sin ,
y z
z
;
z z
0, 1 ,
z
0, 2 .
При этом
,
cos
sin 1
sin cos 0
cos ,
sin ,
z
z
z
z
x y z
x y z
z
z
z
z
z
i
j k
i
j
k
n
и
,
2 .
z
z
n
Тогда, учитывая, что
2
2
,
,
,
x z
y z
z
полу-
чим искомый интеграл:
2
1
2
2
2
0 1
0
0
0 2
2 2
2
2
.
3
z
S
x y dS
z z dz d
d z dz
Пример 2.
Вычислить
2
2
,
S
y z a x dS
где
S
— боковая
поверхность цилиндра
2
2
2
,
x y a
заключенная между плоскостями
0
z
и
.
z H
