Генерирование матриц специального вида: аналитический подход
7
Ее строки будут попарно ортогональны, если одновременно
0,
0.
ab bc cd de ae
ad be ac bd ce
(6)
Эти условия выполняются, например, если
3,
2.
a
b c d e
Норма полученной ортолатинской матрицы равна 5. Соответствую-
щая ортогональная матрица имеет вид
3 2 2 2 2
2 3 2 3 2
1
.
2 2 3 2 2
5
2 3 2 3 2
3 2 2 2 3
Q
Другие ортогональные матрицы, построенные из ортолатинских мат-
риц, получаются из нее перестановкой строк, столбцов и умножени-
ем их на минус один. Приведем еще некоторые решения системы (6),
полученные компьютером путем перебора однозначных чисел:
2,
3,
6,
6
a b c
d e
;
2,
6,
4,
1,
a b c
d
e
8.
*
Нормы соответствующих ортолатинских матриц также целые и
равны 11.
На первой пятерке чисел (
3,
2)
a
b c d e
остановимся
подробно в п. 1.6, так как она допускает обобщение на любое
3
n
.
1.5. Ортолатинские матрицы 6-го порядка.
Такие матрицы и
вообще матрицы любого четного порядка
2
n
проще всего строить из
двух ортолатинских матриц третьего порядка (порядка
п
) по Лемме 5.
В частности, матрица
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
1
2
2
3
1
2
3
1
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
1
2
2
3
1
2
3
1
,
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
D
b b b a a a
b b b a a a
b b b a a a
где
1
2
3
1
2
3
(
),
,
(
),
(
),
,
a m m n a mn a n m n b k k l b kl b
__________________________
*
Эти два решения системы (6) мне любезно сообщил Я.Ю. Коновалов.
