Плотность одно- и двухчастичных состояний в кристаллах ниобата лития - page 8

А.А. Аникьев
8
Функции Грина ( , ) ij
nm G k ω
G
подчиняются уравнению Дайсона
0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
nm nm n n ns sm G k G k G k k G k ω = δ ω + ω Π ω ω∑
G G G G G
(8)
где 0 ( , )
n G k ω
G
— свободная функция Грина, соответствующая n-му
возбуждению; Пns ( , )k ω
G — поляризационный оператор. В исследуе-
мой системе, описываемой гамильтонианом (1), из всей совокупности
функций Грина (8) отбираем только наиболее существенные в обла-
сти резонанса ( i, j = 1, 2; n, m = 1, 2, 3). Систему уравнений для функ-
ций Грина (8) можем представить в виде матричного уравнения сле-
дующим образом:
1
1 11 12 13
1
21 2 22 23
1
31 32 3 33
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
G k k k k
k G k k k
k k G k k
−
−
−
⎛ ⎞ ω −Π ω −Π ω −Π ω
⎜ ⎟
−Π ω ω −Π ω −Π ω × ⎜ ⎟
⎜ ⎟
−Π ω −Π ω ω −Π ω
⎝ ⎠
G G G G
G G G G
G G G G
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( , ) ( , ) ( , ) 1 0 0
( , ) ( , ) ( , ) 0 1 0 .
0 0 1
( , ) ( , ) ( , )
G k G k G k
G k G k G k
G k G k G k
⎛ ⎞ ω ω ω ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
× ω ω ω = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
G G G
G G G
G G G
(9)
Введем обозначения:
1 1
1 1 11
1 1
2 2 22
1 1
3 3 33
( , ) ( , ) ( , ) ;
( , ) ( , ) ( , ) ;
( , ) ( , ) ( , ) ;
G k G k k
G k G k k
G k G k k
− −
− −
− −
ω = ω − Π ω
ω = ω − Π ω
ω = ω − Π ω
G G G
G G G
G G G
где 1 ( , ) G k ω
G
— свободная функция Грина мягких оптических фоно-
нов:
1
1 2 2
1 0 0 0 ( , ) 2 ( ) ( ) ; G k k k i −
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ω = ω ω −ω + Γ ω
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G G G
(10)
1
1 2 2 ( , ) 2 ( ) ( ) ,
A A A A G k k k i −
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ω = ω ω −ω + Γ ω
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G G G
(10а)
2 ( , ) G k ω
G
— двухчастичная функция Грина акустических фононов,
определяемая из решения уравнения Бете — Солпитера в лестничном
приближении [21, 22]:
1 1
2 4 ( , ) ( , ) ( , ). G k k V k − − ω = Π ω − ω
G G G
(11)
Функция ( , )k Π ω
G
— это свертка двух свободных функций Грина
акустических фононов: