Э.М. Карташов
4
Всякий случай нахождения функции Грина соответствующей
краевой задачи для той или иной области
D
весьма важен, так как
содержит обширную информацию, позволяя выписать большое чис-
ло аналитических решений в виде интегральных соотношений (4),
(5) в зависимости от неоднородностей (2), (3). В то же время указан-
ная процедура составляет основную трудность при решении задач
Дирихле и Неймана, и в явном виде функция Грина известна только
для небольшого числа простых областей.
Но и в этих случаях нахождение функции Грина связано с серь-
езными техническими (вычислительными) трудностями, однако в
ряде случаев их можно избежать, если рассматривать следующий
подход построения аналитических решений указанных задач в виде
интегральных соотношений типа (4), (5).
Имея в виду задачи (1), (2) и (1), (3), определим функцию Грина
, , ,
G x y x y
несколько иначе – как решение уравнения
2
2
2
2
G G x x y y
x
y
,
, ,
,
x y x y D
(8)
с граничными условиями в случае задачи Дирихле
,
, , ,
0
x y Г
G x y x y
,
(9)
,
, , ,
0
x y Г
G x y x y
n
(10)
в случае задачи Неймана.
Применим вторую формулу Грина к функциям
,
,
G M P
где
,
P P x y
и к искомому решению
T M
:
,
,
,
,
.
M
D
M
Г
M Г
G M P T M T M G M P d
T M
G M P
G M P
T M
dl
n
n
(11)
Учитывая теперь (1), (8), (9), (10), а также свойство симметрии
формулы Грина
,
,
,
G M P G P M
найдем следующие интеграль-
ные соотношения:
