О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа - page 6

Э.М. Карташов
6
   
2 2
2 2
G G x u y y
u y
        
  
, (15)
   
, , , , 0,
u y Г G x y u y     (16)
либо
 
 
,
, , , 0,
u y Г
G x y u y
n  
 

 (17)
2 * 2 *
2 2 0 G G
u y
 
 
  
, (18)
      *
, , , u y Г G u y x u x
        , (19)
либо
 
   
*
,
, ,
u y Г
G u y x u x
n  
      
 . (20)
Имеем
       
       
 
* *
*
*
,
, , , , , , , , , ,
, , , , ,
, , , , , ,
D
p
p p
Г u y Г
G x y u y G u y x G u y x G x y u y dudy
G u y x G x y u y
G x y u y G u y x dl
n n  
            
 
      
      
 
   


где  
, р р u y   .
Учитывая (15) – (20), приходим к основному результату:
в случае задачи Дирихле
   
 
*
,
, , ,
, , x y Г
G x y x y
G x y x n   
  
  
 , (21)
в случае задачи Неймана
     
*
, , , , , , x y Г G x y x G x y x y        .