А.Ф. Грибов
4
т. е. образ прямой параллелен прообразу.
Рассмотрим теперь плоскость, параллельную устойчивому ли-
нейному многообразию. Уравнение такой плоскости можно записать
в виде
1 1 2 2
1 1
,
S
S
S
n n
AM t V t V
t V
где
0 0
0
1
1
( , , ,
)
n
A x
x
– некоторая точка, принадлежащая плоскости,
1
1
( , , ,
)
n
M x
x
– произвольная точка плоскости. Тогда
0
0
1 1 2 2
1 1
1 1
0
0
0
2 2
1 1
1 1 1 2 2 2
1 1 1
0
(
)
,
S
S
S
S
n n
S
S
S
S
S
n n
n n n
D D t V t V
t V D t DV
x
x
x
t V
t V
t V t V
t
V
x
т. е. образ плоскости также параллелен устойчивому многообразию.
Следовательно, отображение (5) имеет инвариантные слоения: не-
устойчивое
U
F
– прямые, параллельные одномерному неустойчиво-
му многообразию, и устойчивое
S
F
– плоскости, параллельные
устойчивому линейному многообразию.
Покажем, что отображение (5) гиперболично. Рассмотрим вектор
a
, принадлежащий неустойчивому слоению
:
U
F
.
U
a kV
Для образа
этого вектора
,
U
U
U
a Da DkV k DV k V
a
т. е. под действием отображения этот вектор растягивается в λ раз.
Если вектор принадлежит устойчивому слоению
,
S
F
то его можно
записать в виде
1 1
2 2
1 1
.
S
S
S
n n
a k V k V
k V
Тогда
1 1 1
2 2 2
S
S
Da k V k V
1 1 1
.
S
n n n
k
V
Так как
,
a Da a
где
max{ },
i
i
то спра-
ведливо следующее утверждение.
Утверждение 2.
Отображение (5) гиперболично.
Аналогично [7], обозначим
1 2
1
( ,
,
, ,
)
U S S
S
n
W V V V V
матрицу,
столбцами которой являются собственные векторы матрицы отобра-
жения,
1 2
1
det ( ,
,
, ,
),
U S S
S
n
w W V V V V
1 2
1
( ,
,
, ,
| )
U S S
S
i
n
w w V V V V a
–
определитель, получающийся из
w
заменой
i
-го столбца на столбец
