Многомерная дискретная фазовая система с
кусочно-линейной характеристикой …
5
,
a
1
(1, 0, , 0) ,
T
e
1
M
– точка пересечения неустойчивого многооб-
разия с плоскостью
1 .
c
Найдем условия, при которых точка
1
M
принадлежит следу
L
на
плоскости
1
c
(
1
n
)-мерного линейного многообразия – плос-
кости
w
, которая проходит через точку
1
( 1,
0)
O x
и параллельна
векторам
1 2
1
,
, ,
.
S S
S
n
V V V
Если
1 1 1
1
1 2
1
( , , , ,
)
n
x x
x
– координаты точ-
ки
1
,
M
то
1
1 .
c
Поэтому для точки
1
M
из (6) следует, что
1
t
c
и координаты точки
1
M
будут
1
1
1
1 ,
(1 ),
1, 2, ,
1.
U
i
i
c x V c i
n
(7)
Точка
n
M R
тогда и только тогда принадлежит плоскости
w
,
когда векторы
1
,
O M
1
,
S
V
2
, ,
S
V
1
S
n
V
линейно зависимы, т. е. когда
1
1 2
1 1
( ,
,
, ,
|
) 0.
U S S
S
n
w V V V V O M
Учитывая (7), получим, что
1 1
2
3
2
3
2
3
2 3
1
1
( ,
(1 ),
(1 ), ,
(1 ))
((1 ) 1,
(1 ),
(1 ), ,
(1 ))
((1 ),
(1 ),
(1 ), ,
(1 )) (1, 0, , 0)
(1 )(1,
,
, ,
)
(1 )
U
U
U
n
U
U
U
n
U
U
U
n
U U U
U
n
O M c V c V c V c
c V c V c V c
c V c V c V c
c V V V e
c V e
и, следовательно
1
1 2
1 1
1
1 2
1
1
1 2
1 1
1
1 2
1 1
( ,
,
, ,
|
) (1 ) ( ,
,
, ,
|
)
( ,
,
, ,
| ) (1 )
( ,
,
, ,
| ).
U S S
S
U S S
S
U
n
n
U S S
S
U S S
S
n
n
w V V V V O M c w V V V V V
w V V V V e
c w w V V V V e
Приравнивая последнее равенство к нулю, получим условие по-
падания точки
1
M
на
:
L
1
1 2
1 1
(1 )
( ,
,
, ,
| ).
U S S
S
n
c w w V V V V e
Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма 1.
При условии
1
1 2
1 1
1 ( ,
,
,
,
| ) /
U S S
S
k
n
c c
w V V V V e w
(8)
образ точки
1
,
M лежащий на неустойчивом многообразии, попадает
на след устойчивого многообразия, т. е. точка
1
M является точкой
гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке.
