Алгоритм исследования нелинейных систем автоматического управления…
7
Приближенное представление функций
в виде спектрального
представления (7) позволяет вычислить соответствующую вероят-
ностную характеристику путем ее интегрального осреднения с весом,
равным плотности распределения случайных величин:
1
1
1 2
1 2
1
( ; , , , )
( ; , ,..., )
,
l
z
l
b b
l
V
l
l
z
z
z
a a
m t
M t V V V
t V V V f
V dV
что можно сделать сколь угодно точно, так как подынтегральное выра-
жение является аналитической функцией. Такова идеология метода.
Можно показать, что в зависимости от выбора систем ортонор-
мированных многочленов и численных методов расчета коэффици-
ентов Фурье возникают многочисленные разновидности метода, т. е.
конкретные расчетные формулы, условия сходимости, выражения
погрешности получаемых результатов.
Наиболее точным и простым для реализации на ЭВМ является
алгоритм, в котором для каждой случайной величины
z
V
определяет-
ся система многочленов, ортонормированных с весом, равным плот-
ности ее распределения
,
z
V
f
а коэффициенты Фурье находятся с по-
мощью квадратур Гаусса [5]. Расчетная формула статистических ха-
рактеристик в этом случае определяется выражением
1
1
1
2
1
1
1 2
1
1
;
,
, ,
l
l
l
l
l
q
q
V V
k
k
lk
k
k
k
k
m t
A A t V V V
(9)
и позволяет в принципе рассчитать приближенно значения любых
вероятностных характеристик, необходимых для статистического
анализа систем управления, т. е. является универсальной. Выборками
случайных величин в этом случае являются корни соответствующих
полиномов, определяемые детерминированным способом, а гауссовы
коэффициенты находят по формуле [5]
1
1
1
,
1, ;
1, .
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
q
V
z
z
k
V
V
q
zk
zk
q
q
a
A
z l k
q
a P V P V
(10)
В качестве примера рассмотрим простейшую систему автомати-
ческого регулирования, на входе которой действует случайный про-
цесс
( ).
Y t
Дифференциальное уравнение такой системы имеет вид
( ),
dX bX Y t
dt
0 0.
X
Пусть случайная функция
( )
Y t
является стационарной, имеет ма-
тематическое ожидание, равное нулю, а ее корреляционная функция
выражается формулой
