1
УДК 519.714, 517.977
Упругие балки минимального веса, при наличии
нескольких видов изгибающих нагрузок
© А.А. Гурченков
1,2
, Н.Т. Вилисова
1
, И.М. Герман
2
, А.М. Романенков
2
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
2
МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, Москва, 109387, Россия
Рассмотрена задача оптимизации толщины нагруженной балки, а именно — ми-
нимизация веса конструкции, при заданных краевых условиях и ограничении по по-
датливости. Установлено, что математической моделью в данном случае явля-
ется краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го поряд-
ка. Решение возникшей оптимизационной задачи построено на двух разных
подходах. Первый — классический вариационный метод, основанный на изучении
вариации минимизируемого функционала и исследовании стационарной точки дан-
ного функционала. Во втором методе применяется принцип максимума Л.С.
Понтрягина для задачи с закрепленными левым и правым концами.
Численные эксперименты, проведенные для разных видов изгибающих нагрузок,
проиллюстрированы графиками. Сопоставление полученных результатов свиде-
тельствует об эквивалентности обоих подходов, что существенно расширяет
круг оптимизационных задач, для решения которых разрабатываются программ-
ные комплексы с моделями сложных систем.
Ключевые слова:
оптимизация толщины балки, вариационный метод, принцип
максимума.
Постановка задачи.
В ряде динамических задач оптимального
проектирования упругих конструкций вес конструкции является оп-
тимизируемым функционалом. Это связано с часто возникающим
требованием минимизировать толщину конструкции, особенно, когда
на конструкцию действуют внешние силы [1–5].
В настоящей работе в качестве такой конструкции выбрана балка
постоянной плотности, равной единице, с закреплением на обоих
концах различными способами. Математическая модель в данном
случае представляет собой одномерную краевую задачу для обыкно-
венного дифференциального уравнения четвертого порядка, которое
является уравнением изгибающих нагрузок [6–8]:
(
,
( )
)
( )
xx
xx
x x
h W q x
(1)
где
( )
W x
—
функция прогиба балки;
a
— константа, зависящая от
формы балки;
( )
h x
—
функция толщины балки;
( )
q x
—
функция
нагрузки. Граничные условия в соответствии со способом закрепле-
ния балки: