2 / 11
А.А. Гурченков, Н.Т. Вилисова, И.М. Герман, А.М. Романенков
2
0
( ) ( )
(1
(0)
0;
(1
0.
)
)
xx
x
x
x x
W h W
W W
(2)
Рассмотрим функционал, который характеризует вес балки,
1
0
[( )] :
( )
J x h x dx
(3)
и сформулируем оптимизационную задачу, а именно: найти такую
функцию
( )
h x
, которая доставляет минимум функционалу (3), и вы-
полняются ограничения по податливости:
1
0
( ) ( )
,
q x W x dx C
(4)
где в формуле (4) фигурирует решение задачи (1)–(2).
В данной работе предложены два метода решения: первый из них
основан на вариационном принципе, второй — на принципе макси-
мума Л.С. Понтрягина.
Вариационный принцип.
Перейдем от дифференциального
уравнения четвертого порядка (1) к системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (ОДУ) второго порядка:
2
2
2
2
( )
( );
( ) ( )
( )
.
d h
W x V x
dx
d V x q x
d
x
x
(5)
Решение системы ОДУ найдено методом прогонки [9]:
2
1
1
2
,
i
i
i
i
i
V h
W W W
h
(6)
где
h
— шаг сетки;
(
)
)
( ,
i
i
V V ih h h ih
.
Найдем новое приближение функции
W
и из него — новое при-
ближение функции
:
h
1
4
1
( 1)
1
1
.
2
n
i
i
i
i
Ch
h
W W W
(7)
Критерием для остановки процесса является выполнение условия
1
1
( 1)
( )
0
0
(
.
)
( )
n
n
h x
x
dx h dx
(8)