3 / 9
Применение метода возмущений и функций чувствительности…
3
Здесь
1
f v
— поперечные смещения стержня;
( )
J x
— момент
инерции сечений относительно оси, перпендикулярной плоскости из-
гиба;
,
E
— плотность и модуль упругости Юнга материала стерж-
ня;
l
— длина стержня;
2
dv f
dx
— угол поворота сечения стержня;
2
3
2
( )
d v
f
EJ x
dx
— изгибающий момент;
2
4
2
( )
d
d v
f
EJ x
dx
dx
—
поперечная сила [14].
Граничные условия запишем в следующем виде:
1
2
3
4
(0)
(0) 0;
( )
( ) 0.
f
f
f l
f l
Требуется выбрать закон изменения площади сечения стержня
S
(
x
)
по его длине из условия максимума частоты
p
при заданном объеме.
Учитывая, что в (4) оператор
L
самосопряженный, имеем
*
*
4
3
1
2
*
*
2
1
3
4
;
;
;
.
f
f f
f
f
f f
f
Тогда из (3) определим выражение для функции чувствительности:
2
2
3
1
1 ( ) ( )
( ) .
( )
( ) ( )
p
s
x
p
J x f
p f
S x
pJ x S x
Для изопериметрической задачи нахождения максимума частоты
при заданном объеме условие оптимальности имеет вид
p
s
const
и может быть использовано для оптимизации конструкции.
Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть требуется найти управ-
ление
( )
u x
для системы, эффективность которой определяется дроб-
но-линейным функционалом вида
1
0
0
2
0
( , )
( , )
l
l
u f dx
F
u f dx
(5)
при условии ограничений, наложенных на значения других функцио-
налов