3 / 9
Фундаментальные соотношения как основа математической модели…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2016 3
Рассмотрим два сечения в гидравлической части системы: первое
(индекс «1») — на поверхности жидкости в первом баке под мембра-
ной, второе (индекс «2») — в зоне, где поток жидкости втекает во
второй бак из магистрали. Применим к элементарной струйке, за-
ключенной между сечениями, уравнение Бернулли.
С учетом условий невесомости, пренебрегая скоростью жидкости
в первом сечении, получаем
2
1 2
.
2
v
p p
Отсюда скорость втекающей во второй бак жидкости в каждый
момент времени под действием изменяющейся разности давлений
1 2
2(
) .
p p
v
(1)
Отметим важное для понимания физической сути процесса об-
стоятельство. Для случая идеальной жидкости скорость течения на
выходе из магистрали во второй бак будет сохраняться постоянной
по всей длине магистрали с постоянным диаметром вплоть до зоны
выхода магистрали из первого бака. Давление в жидкости на выходе
из магистрали во второй бак также будет сохраняться постоянным по
длине магистрали. При отсутствии трения в жидкости перепада дав-
лений по длине нет.
Зона входа в магистраль из первого бака является местом прин-
ципиальной перестройки течения. При этом окончательно направ-
ленный поток формируется только в магистрали. В зоне выхода из
магистрали во второй бак струя вытекает с определенной скоростью
и далее замедляется уже в баке.
Используя соотношение (1), можно получить модель перетекания
жидкости из бака в бак под действием перепада давлений с дискрет-
ным шагом по времени. Дискретный шаг может быть равен, напри-
мер, 1 с или иметь любое другое значение, удобное для конкретной
физической задачи. Эта математическая модель является дискретным
аналогом решения дифференциального уравнения о выравнивании
уровней давления или высот в сосудах с жидкостью.
Если пренебречь изменением давления за малый промежуток
времени (считать давления постоянными), то в соответствии с урав-
нением неразрывности за единицу времени во второй бак поступит (а
из первого вытечет) жидкость, масса которой
,
G vF
где
F
—
площадь сечения магистрали, присоединенной к баку. Объем жидко-
сти составит
ж
.
V vF
Тогда через 1 с после начала перетекания объ-
ем жидкости в первом баке