5 / 12
Решение задачи параметрической оптимизации сетчатой цилиндрической конструкции
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017 5
Алгоритм оптимизации.
Поставим задачу оптимизации следу-
ющим образом: отыскивается минимум целевой функции (1)
z
1 2
( , ,..., )
n
x x x
— массы конструкции. Решением будет точка
x
с ко-
ординатами
1 2
( , ,..., )
n
x x x
в области допустимых решений
Ω
, которая
определяется системой из
N
ограничений-неравенств:
1 1 2
2 1 2
1 2
( , ,..., ) 0;
( , ,..., ) 0;
...
( , ,..., ) 0.
ω
≥
ω
≥
Ω =
ω
≥
n
n
N
n
x x x
x x x
x x x
(3)
Значение каждой из функций в системе (3) определяет меру рас-
стояния текущей (пробной) точки от соответствующего участка гра-
ницы. Поэтому на шаге поиска можно построить частичный преди-
кат, в который входят только несколько наименьших функций из
данной системы (3) — «доминантных» ограничений:
1 2
1 1 2
2 1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
( , ,..., ) ...
α
α
ω
= ω
∧ ω
∧
n
n
n
x x x
x x x
x x x
(4)
(функции в (3) предполагаются упорядоченными по возрастанию).
Далее введем вспомогательную целевую функцию
1 2
1 2
( , ,..., ) ( , ,..., ) (
) ,
=
− ∇ω∇ ω
n
n
Z x x x z x x x
z
(5)
градиент которой направлен вдоль поверхности уровня предиката
ω
.
Безусловный минимум вспомогательной функции совпадает с услов-
ным минимумом целевой функции
1 2
( , ,..., )
n
z x x x
на границе области
допустимых решений.
Следующая пробная точка может быть выбрана на данном шаге
поиска перемещением вспомогательной функции в сторону убыва-
ния. Для этого вычисляются значения функции (5) в вершинах проб-
ного симплекса, построенного вокруг исходной точки, и отражения
«худшей» вершины относительно центра симплекса.
Алгоритм был модифицирован в связи с зацикливанием вблизи
острых углов области поиска и «кратных» границ следующим образом.
Каждая доминанта заменялась упругой связью, которая действует на
перемещаемый симплекс аналогично пружине, нормальной к поверхно-
сти
1 2
( , ,..., ) 0,
ω
=
i
n
x x x
а направление перемещения симплекса коррек-
тируется с учетом суммы реакций этих упругих связей. Тогда по мере
убывания вспомогательной целевой функции симплекс движется на
приблизительно равном расстоянии от доминант вдоль линии Дирихле
области поиска и приходит в искомую точку по кратчайшему пути.