4 / 22
А.А. Валишин
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2017
Аппроксимация образца-полоски конечных размеров с маленькой
трещиной бесконечной плоскостью физически оправдана, а
математически задача становится решаемой.
Задача (1) относится к классу внутренних задач Неймана. Ее
решение определяется с точностью до аддитивной константы [9]:
0
1/2
4
2 2 2
2 2 2 2
2 2
( , )
2
2 (
) (
)
(
)
sign .
= +
×
λ
× +
+ + − + − −
T
T
q
T x y T
y y x y x l
y x l
y
(2)
Эта формула определяет температурное поле в «большом образце
с маленькой трещиной». Константа
Т
0
не может быть определена из
условий краевой задачи (1). Для того чтобы понять ее смысл,
совершим предельный переход в формуле (2) при условии
0,
l
→
т. е.
переход к образцу без трещины. Распределение температуры в таком
образце
0
( , )
.
= +
λ
T
T
q
T x y T y
(3)
Такой же результат получается при решении нестационарной
краевой задачи для конечного образца без трещины с начальной
температурой
Т
0
с последующим предельным переходом к стацио-
нарному состоянию. В этом случае константа
Т
0
равна температуре
образца до начала процесса нагревания. Поэтому можно утверждать,
что в формуле (2) константа
Т
0
имеет тот же смысл и, следовательно,
второе слагаемое в этой формуле описывает отклонение темпера-
турного поля от начального состояния
Т
0
. При больших значениях
x
и
y
,
т. е. вдали от трещины, температурное поле остается невозмущенным
и описывается формулой (3).
На линии трещины (
y
= 0) температура
2 2
0
0
,
;
( , 0)
,
,
±
−
<
λ =
>
T
T
q T
l
x x l
T x
T x l
(4)
причем знак плюс относится к верхней части образца (над трещиной), а
знак минус — к нижней части (под трещиной). На рис. 2. показан
температурный профиль на берегах трещины, кривая на рисунке —
эллипс, описываемый формулой
(
)
(
)
2 2
0
2
2
2
( , 0)
1.
−
+ =
λ
T T
T x T x
l
q
l
(5)