В.В. Кузнецов, А.В. Мастихин
2
В качестве основных соответствий (операций) используются:
1
f
— откладывание вектора от точки;
2
f
— умножение вектора на число;
3
f
— линейная зависимость (независимость векторов);
4
f
— скалярное произведение двух векторов.
Эти соответствия описывают четыре группы аксиом:
1) аксиомы связи между точками и векторами (или просто аксио-
мы связи);
2) аксиомы умножения вектора на число;
3) аксиомы размерности;
4) аксиомы скалярного произведения.
Вторая и четвертая группы аксиом хорошо знакомы из линейной
алгебры. Первая группа состоит из четырех аксиом.
Аксиома 1.1.
Существует, по крайней мере, одна точка, т. е.
T
.
Аксиома 1.2
(аксиома задания вектора).
Каждая упорядоченная
пара точек
A
T
и
B
T
определяет единственный вектор
a
V
.
Аксиома задает соответствие
1
:
f
T
T
V
. При этом точки
A
и
B
называются, соответственно, началом и концом этого вектора, а
сам он обозначается как
a AB
.
Аксиома 1.3
(аксиома откладывания вектора от точки).
Для каж-
дого вектора
a
V
и каждой точки
A
T
существует единствен-
ная точка
B
T,
такая, что
a AB
.
Мы можем говорить, что это вектор,
отложенный
от точки
A
(и
имеющий конец в точке
B
), в отличие от абстрактного
свободного
вектора, рассматриваемого как элемент из
V
и допускающего раз-
личные реализации операции откладывания.
Аксиома 1.4
(аксиома параллелограмма).
Если векторы
AB
и
CD
равны, то векторы
AC
и
BD
также равны.
Наглядный смысл аксиомы в том, что четырехугольник
,
ABCD
на сторонах которого расположена пара векторов
AB
=
,
CD
является
параллелограммом.
Далее следуют очевидные определения нулевого вектора, противо-
положного вектора, сложения двух и более векторов, коммутативность
и ассоциативность сложения векторов, правило треугольника и много-
угольника, доказываются корректность определений и свойства опреде-
ленных объектов и операций такие, как сложение с нулевым вектором,
сложение противоположных векторов, определяется вычитание векто-
ров, дается правило вычитания. В качестве примера типичных рассуж-
дений рассмотрим доказательство следующей теоремы.
