В.В. Кузнецов, А.В. Мастихин
8
Параметрическое уравнение одномерной плоскости, проходящей
через две заданные точки
0 1
,
P P
, т. е. прямой
0 1
,
P P
не изменилось:
0 1
P P
0
0 1
P P P
. Следующая теорема предложена в [10] в виде за-
дачи.
Теорема.
Свойство содержать вместе с двумя точками всю
прямую является характеристическим для многомерной плоскости.
Задача.
Записать параметрическое уравнение плоскости по за-
данной системе линейных алгебраических уравнений.
Решение
состоит в применении метода Гаусса, нахождении част-
ного решения неоднородной системы и фундаментальной системы
решений однородной системы, первое задает радиус-вектор началь-
ной точки, второе — базис линейного пространства.
Задача.
По заданному параметрическому уравнению записать
уравнение плоскости в виде системы линейных алгебраических урав-
нений.
Решение.
Для одномерного случая прямой запишем параметриче-
ское уравнение в координатной форме и выразим параметр через
координаты радиус-вектора
0
OP
1 2
0 0
0
, , ,
n
x x
x
и вектора
0 1
P P
1 2
1 1
1
, , ,
:
n
x x
x
1
1
0
1 1
1
0
x x
x x
2
2
0
2
2
1
0
x x
x x
0
1
0
n
n
n
n
x x
x x
.
В случае
k
-мерной плоскости из системы уравнений, представля-
ющей координатную форму параметрического уравнения, следует
исключить параметры. Если число параметров равно
k
(считаем, что
вектора,
0 1 0 1
0
,
,
,
k
P P P P P P
линейно независимы), то ранг матрицы
системы равен
k
, в ней найдется ненулевой минор
k
-порядка, из него
параметры единственным образом выражаются через переменные и
числовые величины. Затем, подставив эти выражения в оставшиеся
n k
уравнений, получаем искомую систему.
Пример.
Для точек
0
1, 2, 3, 4 ,
P
1
0, 2, 2, 3 ,
P
2
1, 1, 2, 3
P
находим координаты векторов и составляем па-
раметрическое уравнение плоскости
1 1 0
2 0 1
3 1 1
4 1 1
x
y
s
t
z
w
,
далее в системе
