Аксиоматика Вейля — Рашевского в курсах аналитической геометрии
3
Теорема 1.
Для любых точек
,
A B
T
векторы
AA
и
BB
равны
между собой.
Доказательство.
Пусть
A
и
B
— произвольные точки. Пока-
жем, что
AA BB
. Действительно, каждый вектор, в частности
,
AB
равен самому себе. Применяя к тождеству
AB AB
аксиому парал-
лелограмма, получаем нужное утверждение.
Вторая группа состоит из пяти аксиом.
Аксиома 2.1.
Каждой паре
a
V
,
R
соответствует един-
ственный вектор
b a
, называемый произведением вектора на
число
.
Аксиома 2.2.
Умножение вектора на единицу не меняет его
.
Аксиома 2.3.
Умножение вектора на число дистрибутивно
относительно числового множителя:
(
R)
(
V),
a
a b
.
a b
Аксиома 2.4.
Умножение вектора на число дистрибутивно от-
носительно векторного множителя
:
,
R V ,
.
a
a a a
Аксиома 2.5.
Умножение вектора на число ассоциативно отно-
сительно числового множителя
:
,
R V ,
.
a
a
a
Далее доказывается теорема о произведении нулевого вектора на
любое число и числа 0 на любой вектор, теорема о противоположном
векторе для вектора, умноженного на число, дается определение со-
направленных векторов и направления, коллинеарных или парал-
лельных векторов.
Третья группа аксиом позволяет классифицировать векторные
множества. Дается определение линейной комбинации векторов,
определение линейно зависимой системы векторов дается в двух ва-
риантах и доказывается их эквивалентность, доказывается теорема о
линейно зависимой подсистеме векторов и ее следствие о линейной
зависимости системы векторов, содержащей нулевой вектор.
Аксиома 3.1.
Существует три линейно независимых вектора
.
Аксиома 3.2.
Всякие четыре вектора линейно зависимы.
Рассмотренные три группы аксиом (откладывания вектора,
умножения вектора на число, размерности) позволяют дать опреде-
ление трехмерного, точечно-векторного, или аффинного, простран-
ства. Однако, меняя максимальное число линейно независимых и ли-
нейно зависимых векторов в аксиомах 3.1 и 3.2, получаем аффинное
пространство нужной размерности.
