Исследование модели Ньюмана биологической эволюции
Следуя работам [3–8], воспользуемся приближением среднего по-
ля, пренебрегая флуктуациями распределения видов по устойчивости
r
( )
. Темп его изменения с течением времени определяется формулой
˙
r
(
,
) =
−
(︁
−
3
( )
+
1
)︁
·
r
( )
.
Здесь — средняя скорость образования новых видов — постоянная
величина. Корректность такого предположения неочевидна и обсуж-
дается далее.
Приняв
˙
r
(
,
) = 0
, получим стационарное распределение видов
r
( ) =
−
3
( )
+ 1
/
∼
{︂
3
( )
при
≪
,
const
при
≫
,
(1)
где
критическая
устойчивость к шоку определяется равновероятно-
стью исчезновения вида в результате воздействия шока и случайного
уничтожения:
3
( ) = ln
.
(2)
Свойства модели существенно зависят от критической устойчиво-
сти к шоку. Если выполнено
условие разделения
≪
1
,
(3)
основную часть экосистемы составляют сверхкритические виды с
≫
, за счет случайного уничтожения которых восполняется убыль
докритических видов с
≪
, связанная с воздействия шоков. Ес-
ли условие (3) нарушено, виды, вымирающие в результате одного
шока, должны замещаться видами, образующимися после вымира-
ний, вызванных другими шоками. В силу случайности этого процес-
са распределение видов по устойчивости подвержено значительным
флуктуациям, что не согласуется с используемым приближением.
Распределение вымираний.
Число видов, вымерших в результате
воздействия шока ,
( ) =
∫︁
0
r
(
x
)
x
∼
∫︁
0
3
(
x
)
x
,
(4)
где
0
— минимально возможное значение воздействия шока. Пола-
гаем, что условие разделения (3) выполнено и все подверженные воз-
действиям шока виды являются докритическими. Поэтому можно вос-
пользоваться верхней строкой формулы (1).
Дифференцируя интеграл (4) по верхнему пределу, получаем соот-
ношение
∼
3
( )
,
(5)
3
