Г.Г. Малинецкий, А.В. Подлазов
после подстановки которого в формулу преобразования вероятностей
( ) = ( )
плотность распределения вымираний можно записать в неявном виде:
( )
∼
−
2
3
( )
3
′
( )
.
(6)
Простейший случай.
Начнем анализ формулы (6) с ситуации, когда
выполнено соотношение [7]
3
′
( ) =
3
( )
,
<
1
,
>
0
.
(7)
Тогда интеграл (4) можно вычислить точно:
( )
∼
∫︁
0
3
(
x
)
x
∼
3
( )
∫︁
3
(
0
)
3
(
x
)(1
−
)
3
∼
3
( )(1
−
)
,
(8)
что позволяет выразить явным образом и плотность распределения
вымираний (6):
( )
∼
−
t
,
(9)
где
t
= 2 +
1
−
.
Формула (7) описывает семейство функций распределения шока
вида
( ) = 1
−
(︀
1
−
(
−
0
)
)︀
1
/
.
(10)
Рассмотрим три элементарных частных случая:
1)
0
<
= 1
/ <
1
— распределение
минимума
случайных чи-
сел, равномерно распределенных на интервале
(0; 1)
, характе-
ризующееся кумулятивной функцией риска
3
( ) =
−
ln(1
−
)
и показателем распределения вымираний
t
= 2 + 1
/
(
−
1)
>
2
;
2)
= 0
—
экспоненциальное
распределение с
3
( ) =
/
и
t
= 2
;
3)
=
−
1
/
a
<
0
— распределение
Парето
с
3
( ) =
a
ln(
/
0
)
и
t
= 2
−
1
/
(1 +
a
)
<
2
.
Общий случай.
Хотя обратить формулу (4) без знания конкретного
вида распределения шоков затруднительно, можно существенно упро-
стить запись (6), если уточнить, с шоками какого масштаба мы имеем
дело.
Функция
3
( )
не убывает при увеличении аргумента. Поэтому
интеграл в формуле (4) набирает значение преимущественно вблизи
верхнего предела, в окрестности которого целесообразно разложить
показатель экспоненты в ряд Тейлора:
3
(
x
) =
3
( ) +
3
′
( )(
x
−
) +
. . . .
Ограничив разложение линейным членом, получим выражение для
4
