Исследование модели Ньюмана биологической эволюции
размера вымирания в явном виде:
( )
∼
3
( )
1
−
−
3
′
( )
·
3
′
( )
.
(11)
Очевидно, что в зависимости от значения показателя вычитаемого
возникают два предельных случая.
1. Для слабых шоков
≪
1
/
3
′
( )
можно разложить экспоненту
в формуле (11) в ряд, вновь ограничившись линейным членом, что
позволяет для размера вымирания получить выражение
( )
∼
3
( )
с тем же коэффициентом пропорциональности, что и в формуле (5).
Исключив его, приходим к уравнению
=
,
из которого вытекает прямая пропорциональность между слабым шо-
ком и размером вызванного им вымирания:
=
.
Этот случай линейного поведения системы не представляет интереса.
2. Для сильных шоков
≫
1
/
3
′
( )
вычитаемым в формуле (11)
можно пренебречь, что дает возможность для размера вымирания за-
писать выражение
( )
∼
3
( )
3
′
( )
,
(12)
подстановка которого в формулу (6) приводит к записи плотности
распределения вымираний в полуявном виде
( )
∼
−
2
3
′
( )
.
(13)
Случай быстрой (экспоненциальной — см. формулу (7)) зависимо-
сти производной кумулятивной риска от ее значения подробно разоб-
ран выше, поэтому ограничимся рассмотрением медленной (алгебра-
ической) зависимости вида
3
′
( )
∼
3
g
( )
. Из формулы (12) вытекает
оценка
3
( )
∼
ln ( )
, означающая, что знаменатель формулы (13)
оказывается лишь логарифмической поправкой, не меняющей показа-
теля степени
t
= 2
.
Простейший пример возникновения такой поправки — распре-
деление минимального значения с кумулятивной функцией риска
3
( ) =
(
−
)
/
, для которой
g
= 1
. Менее тривиальным примером
является распределение Вейбулла с
3
( ) = (
/
)
s
и
g
= 1
−
1
/
s
,
которое заслуживает более подробного анализа.
5
