10 / 15
С.Ю. Гуськов, В.В. Лёвин
10
( )
( )
( )
( )
1
;
;
;
G B
M G B
M G B
M G B
j
j
j
j
F
B F
B F
B F
N
N
N
N
( )
( )
;
,
G B
M G B
j
j
c
F
B F
N
N N
где
с
= const.
Отсюда следует оценка
( )
[ ] 1
[ ] 1
( )
1
1
1 [ ] 1
Var
( )
0,
G B
Nz
Nz
jN
G B N
N
j
j
p
c
c Nz
F z
n n N N N
что и требовалось доказать.
Определим верхнюю
( )
( )
V
G B N
F z
и нижнюю
( )
( )
L
G B N
F z
граничные
функции:
1
2
( )
2 ( ) 2, 1
1
2
0,
0,
1
( )
, 0 1,
2
1,
1;
jN
Nz
V
G B N
G B
j
z
F z
z
n
z
1
2
( )
2 ( ),
1
2
0,
0,
1
( )
, 0 1,
2
1,
1.
jN
Nz
L
G B N
G B
j
z
F z
z
n
z
Утверждение 3.
Функции
( )
( )
( ),
( )
V
L
G B N
G B N
F z F z
являются точны-
ми доверительными границами для
( )
( )
G B N
F z
с уровнем доверия
1
.
Доказательство.
Для заданных
1 2
, , ...,
N
k k k
случайное событие
1
1 2
2
,
, ...,
N
N
NN N
k
k
k
эквивалентно событию
1
1 1
2
,
N
N N
k
1 2
1
1
, ...,
...
...
N
NN
N
k k
k
k
и, следовательно, их вероятности
совпадают, что и требовалось доказать.
П р и м е ч а н и е 4. Функции
( )
( )
L V
G B N
F
составляют доверительную
полосу для всей функции
( )
( )
G B N
F z
с заданным уровнем доверия
1
.
При этом, как следует из утверждения 2 об асимптотической состоя-
тельности (при
N
)
( )
( )
G B N
F z
для оценки истинной функции
распределения
( )
( ),
G B
F z
максимальное расхождение между
( )
( )
G B N
F z