5 / 11
Определение контактного давления для цилиндрических тел в задаче…
5
Учитывая найденные выражения для температур в покрытиях
[10] и интегрируя дифференциальные уравнения (10), получаем
*
*
2
2
1
2
1
1 1 1 2
2
2 2
1
2
*
,
;
,
;
2
2
.
zi
i
i
i
T
T
v z t
z a z b h v z t
z a z b h
h
h
a T
(11)
Здесь
1
1 2 *
*
2
2 1 1 2
1 2 1 2 *
*
1 exp
*
1
1 exp
2
k q
h h
T
k q
h h h h
является максимальной (локализирующейся вблизи внешней окруж-
ности оснований цилиндров) контактной температурой.
Функции времени
i
a
и
i
b
определим из граничных условий:
1
2
0,
0,
0;
v t
v t
1
2
0,
0,
.
y
y
t
t
q t
(12)
В результате получим
*
1 1
1 1 1 1
,
/
/ 2;
v h t
qh
h T
*
2 2
2 2 2 2
,
/
/ 2.
v h t
qh
h T
(13)
Подставив формулы (3) и (12) в выражение (9) и исключив
*
,
T
по-
лучим для определения
q t
при известных
i
h t
(а следовательно, и
при известном
t
нелинейное интегральное уравнение Вольтерра:
2
2
2 1
2 2 1 1 1 2
1
*
2 1
*
0
1 exp
2 ( )
,
2
t
h h
h h h h
k q
q
V
lV m q d t
S
(14)
где
S =
2
2 1 1 2
1 2 1 2 *
*
1
1 exp
;
2
k q
h h h h V
1
2
1 2
1
1 exp
1 exp
1 exp
.
*
*
*
k q
k q
h h
τ
τ
k q
m q
τ
S
Случай относительно малого времени износа
. Пусть
t
имеет
порядок упругого перемещения для относительно малого отрезка вре-
мени
*
0
.
t t
В этом случае в уравнении (14) можно приближен-
но заменить
i
h t
на
0
i
h
. Положим также, что
,
k q T
имеет соответ-
ственно вид соотношения (2), а скорость износа постоянна, т. е.