3 / 16
Численное моделирование теплового расширения композиционных материалов…
3
0
0
( ) ,
kl
kl
a d
(2)
( )
kl
a
— компоненты тензора теплового расширения, зависящие от
температуры.
Последние два условия в системе (1) — это условия идеального
контакта матрицы и волокон, а также условия на границе композита.
Пусть композиционный материал обладает периодической
структурой (см. рис. 1, 2), ЯП
V
которого состоит из
N
компонентов
,
1, ..., .
V
N
Введем малый параметр
/
1
l L
как отношение
характерного размера ЯП к характерному размеру всего композита,
а также глобальные
k
x
и локальные
k
координаты. Будем полагать,
что матрица является связной областью. Обозначим также
N N
V
поверхности раздела матрицы и волокон в ЯП.
В этом случае для такой структуры может быть применен метод
асимптотического осреднения [7–10], согласно которому решение
задачи (1) для матрицы и волокон строится в виде асимптотических
разложений вида
(0)
(1)
2
(0)
(1)
2
(0)
(1)
2
( )
( , )
... ;
( , )
( , )
... ;
( , )
( , )
... ,
k
k l
i
i
i
k l
k l
ij
ij
ij
k l
k l
ij
ij
ij
u u x
u x
x
x
x
x
(3)
причем по аргументу
l
эти функции полагают периодическими. Де-
формации и напряжения «нулевого уровня» имеют следующий вид:
(0)
(1)
(1)
/
/
1
;
2
ij
ij
i j
j i
u u
(4)
( )
( )
,
,
1
;
2
O O
ij
i j
j i
u u
(5)
(0)
(0)
0
ijkl
kl
ij
kl
C
, если
,
1, ..., .
k
V
N
(6)
Здесь
,
/
l
l
x
и
/
/
l
l
— производные по двум типам коорди-
нат. При выводе формул (3)–(5) и далее используется правило диф-
ференцирования асимптотических разложений:
,
,
,
,
,
1
.
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
j
j
k
j
j
k
df x
f x
f x
f x
f x
dx
x
x
x