3 / 10
Численно-аналитическое построение семейства периодических движений…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5·2016 3
Метод построения семейств периодических решений гамиль-
тоновой системы.
В работе [4] предложен метод численного про-
должения по параметрам периодических решений автономных га-
мильтоновых систем. Идея метода принадлежит A. Deprit и J. Henrard
[5]. Суть метода состоит во введении локальных координат — нор-
мального и тангенциального смещений в окрестности некоторого из-
вестного (опорного) периодического решения. Это позволяет свести
краевую задачу нахождения периодического решения к задаче Коши.
Изложим алгоритм построения периодических решений в соответ-
ствии с работой [4]. Пусть задана автономная обобщенно-
консервативная механическая система с
1
J
+
степенью свободы и
гамильтонианом
(
)
,
H z p
, где
( )
т
,
z x y
=
,
(
)
1
1
T
J
x x x
+
= …
― коорди-
наты,
(
)
т
1
1
J
y y y
+
= …
― импульсы,
(
)
т
1
k
p p p
= …
― вектор парамет-
ров. Пусть для данной системы известно
опорное
— периодическое
решение
( , )
Z Z t P
=
с константой энергии
( )
H Z h
=
и параметрами
p P
=
, где
t
― независимая переменная. Будем искать новое
*
( )
T p
-
периодическое решение
( , ),
z t p
являющееся аналитическим продолже-
нием (по параметрам) опорного решения, где
p
― новые значения па-
раметров,
*
( )
H z h
=
― константа энергии для нового решения. Новое
решение отвечает условиям периодичности и принадлежности к семей-
ству периодических решений, порождаемых опорным решением:
(
)
*
(0, )
( ,)
z p z T p p
=
;
*
lim ( , )
( , ); lim )
)
(
(
p P
p P
z t p Z t P T p T P
→
→
=
=
.
Введем обозначения [5]:
,
p P z Z
π = − ξ = −
, где
π
― заданные
приращения параметров,
ξ
― локальные координаты в окрестности
опорного периодического решения. Определим в фазовом
пространстве подвижную (сопровождающую) систему координат
т
v
u u
v
w n m mn
=
, где
u
n
и
v
n
― нормальные смещения,
u
m
и
v
m
―
тангенциальное и энергетическое смещения. Переход к подвижной
системе координат осуществляется с помощью преобразования
Sw
ξ =
, где
S
― ортогональная симплектическая матрица, алгоритм
построения которой приводится в работе [5]. Константу энергии
h
будем рассматривать как внутренний параметр. В подвижной системе
координат канонические дифференциальные уравнения для нормальных
смещений не зависят от тангенциальных и энергетических смещений.
Поиск нового периодического решения осуществляется в два
этапа: предиктор и корректор. На этапе предиктора в результате