7 / 14
К задаче о разделении движений в динамике систем гиростабилизации
Инженерный журнал: наука и инновации
# 9·2016 7
исходной системой (ИС), имеет порядок
N
(применительно
к модели
(7)
N
= 2
n
+
u
).
Введем в качестве УС для (8) упрощенную систему вида
( )
(
)
/
.
, ,
µ
= µ
s
s
M dy dt
Y t
y
(9)
Система (9) имеет порядок
(
)
.
<
s
s
N N N
Она получена из системы
(8) при отбрасывании в элементах всех матриц членов более высокого
порядка, чем
s
, по переменной
µ
(
µ
s
,
s
— заданное наперед число,
s
<
r
).
Система (9) — система сравнения для (8), будем называть ее УС
s
-уровня (
s
-системой, или УС
s
). В рассматриваемой постановке систе-
ма (9) — это (в расширение классических постановок) система
s
-приближения по переменной
µ
для ИС. Здесь
M
s
(
µ
) — сингулярная
матрица; (8), (9) — сингулярно возмущенные системы; (9) — система
дифференциально-алгебраических уравнений.
Возвращаясь в системе (9) к прежним переменным (
q, q ׂ◌
), полу-
чим УМ
s
-уровня (
s
-модель, УМ
s
). УМ
s
имеет
k
s
степеней свободы (
k
s
=
=
N
s
/2). С точки зрения механики УМ — идеализированная модель
(идеализация по
выбранному физическому свойству
, которому соот-
ветствует малый параметр
µ
). Можно ввести иерархические последо-
вательности
s
-систем и соответствующих
s
-моделей для разных
s
(
s
= 0,1, …,
r
–1) и разных малых параметров (
µ
,
µ
1
,
µ
2
, …). С исполь-
зованием такого подхода строится
все семейство
возможных УМ для
рассматриваемых механических систем (с возможностью отбора ми-
нимальной модели по Н.Н. Моисееву).
Разрабатываемый подход дает регулярный алгоритм для построе-
ния УМ (в качестве расчетных) исходного объекта (ИO) строгим ма-
тематическим способом:
ИO
→
ИM
→
ИС
→
УС
→
УM. (10)
(
q, q ׂ◌
) (
y
) (
y
) (
q, q ׂ◌
)
При этом
автоматически
выполняется
декомпозиция
исходной
модели на подмодели, исходные переменные состояния и состав-
ляющие движения системы подразделяются на разночастотные группы,
исходные параметры подразделяются на существенные и несущест-
венные, автоматически выделяются главные степени свободы (в рамках
поставленной задачи).
Не останавливаясь на конкретных примерах, отметим, что в
работе получены общие результаты, которые дают полное решение
по задаче (a). Следующие стадии — задачи (b), (c), (а). Не обсуждая
все детали и полученные теоремы, приведем только некоторые итоги
в рамках используемого подхода. По задаче (b) (задача приемле-
мости): известно, что динамические свойства (устойчивость, оптималь-
ность, быстродействие) не обладают декомпозицией. Необходимо,