19 / 25
Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2016 19
(0)
(1)
(0)
2
(1)
(1)
2 (2)
3
3
;
;
.
IJ
IJ
IJ
IJ
IJ
IJ
I
I
I
T
M
Q
=< σ ; ( < σ ; (
= < ξσ ; ( < ξσ ; (
= < σ ; ( < σ ; (
æ
æ
æ
æ
æ
(73)
Подставив выражения (27) и (47) для напряжений
(0)
,
IJ
σ
(1)
IJ
σ
в формулы (73), получаем с точностью до значения порядка малости,
указанного в формулах (73):
(0)
;
IJ
IJKL
IJKL KL
KL
T C
B
= ε ( η
(0)
,
IJ
IJKL
IJKL KL
KL
M B
D
= ε ( η
(74)
где обозначены мембранные жесткости оболочки
,
IJKL
C
смешанные
жесткости
,
IJKL
B
IJKL
B
и изгибные жесткости
:
IJKL
D
(0)
(1)
;
IJKL
IJKL
IJKL
C C
C
=< ; ( < ;
æ
2 2 (0)
;
IJKL
IJKL
D
C
= < ξ
;
æ
(0)
;
IJKL
IJKL
B
C
= < ξ ;
æ
(0)
2
(1)
.
IJKL
IJKL
IJKL
B
C
C
= < ξ > ( < ξ >
æ
æ
(75)
От классических выражений для жесткостей тонких оболочек
выражения (75) отличаются: 1) наличием жесткостей первого поряд-
ка
(1)
IJKL
C
< >
æ
и
2
(1)
,
IJKL
C
< ξ >
æ
которые обычно малы по сравнению
с соответствующими жесткостями нулевого порядка
(0)
IJKL
C
< >
и
(0)
;
IJKL
C
< ξ ;
æ
2) слагаемыми
33 3
IJ
KL
C Z
в выражениях (27) для жест-
костей нулевого приближения, учитывающими пуассоновские эф-
фекты. Поправки обоих типов могут вносить изменения в жесткости
оболочек.
Вместе с кинематическими соотношениями (44) и (19) (третья
и четвертая группа уравнений этой системы) уравнения (72) и (74)
образуют замкнутую систему относительно трех перемещений
(0)
,
I
u
(0)
3
u
и двух перерезающих сил
,
Q
α
которые являются функциями
только двух переменных — продольных координат
.
q
α
После реше-
ния этой системы, например, численными методами, можно найти
все шесть компонент тензора напряжений как функции уже всех трех
координат:
q
α
и
,
ξ
используя для этого только аналитические явные
формулы (68)–(70) и не решая при этом никаких дополнительных за-
дач. Полученные выражения (68)–(70) представляют собой асимпто-
тически точные выражения напряжений в общей трехмерной теории
упругости.