Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации

4 / 25

Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин
4 Инженерный журнал: наука и инновации # 12·2016
где αα ε — компоненты тензора малых деформаций; u α — компонен-
ты вектора перемещений в криволинейных координатах i q .
Оболочку примем многослойной, все слои которой ортогональны
направлению 3 q и являются линейно-упругими и моноклинными
[26], т. е. содержат не более 13 независимых упругих констант
с главными осями криволинейной анизотропии, совпадающими с ко-
ординатными линиями .i q Тогда определяющие соотношения обо-
лочки, связывающие деформации αβ ε и напряжения ,
αβ σ имеют сле-
дующий вид в криволинейной системе координат :i q
33 33 3 3 3 3 33 33 3333 33 ; 2 ; , σ = ε + ε σ = ε σ = ε + ε
IJ IJKL KL IJ I I K K KL KL C C C C C (4)
где ijkl C — модули упругости слоев оболочки; здесь и далее индексы,
обозначенные заглавными буквами латинского алфавита , , , , I J K L M
и строчными греческими , , α β принимают значения 1, 2, причем
, α ≠ β а индексы , , , i j k l — значения 1, 2, 3.
На внешней и внутренней поверхностях оболочки считаем задан-
ными: давление ; p ±  на торцевой поверхности т Σ — перемещение
;
ei u на границе S Σ раздела слоев оболочки — условия идеального
контакта слоев оболочки:
3 3 3 3 : ; : ; :[ ] 0; [ ] 0,
i i T i ei S i i p u u u
± ± Σ p : − δ Σ : Σ p : :  (5)
где [ ]i u — скачок функций.
Основные допущения асимптотической теории. Введем не-
сколько основных допущений.
1. Рассмотрим очень тонкую оболочку, для которой выполняется
соотношение
/ 1, h L = << æ (6)
где æ — малый параметр; L — диаметр срединной поверхности 0. Σ
Введем глобальные безразмерные криволинейные координаты k q
и локальную ξ координату:
3 / , / .
k k q q L q = ξ = æ (7)
Далее все функции рассмотрим как зависящие от безразмерных
координат ( , ), 1, 2
i u qα u α = и предположим их безразмерными.
Воспользуемся следующим правилом дифференцирования от безраз-
мерных координат: