11 / 25
Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2016 11
Здесь обозначен оператор
{
}
( , )
I
f q
ξ
ξ =
(
)
0,5
( , )
( , )
.
I
I
f q
f q
d
ξ
−
ξ − < ξ > ξ
∫
(32)
С помощью определяющих соотношений для сдвиговых и попе-
речных напряжений в системе уравнений (20) находим сдвиговые
и поперечные деформации:
( )
1 ( )
3 3
3
3
2
;
n
n
I K
K
I
C
−
ε = σ
( )
1 ( )
( )
3333
3
33
33
.
n
n
n
KL KL
C
Z
−
ε = σ − ε
(33)
Из кинематических соотношений (шестая и седьмая группы
уравнений) системы (20) с учетом формул (30) и условий нормировки
( 1)*
0
n
i
u
(
<
>=
находим перемещения высоких приближений
( )
3
,
n
u
( )
:
n
I
u
( )
( 1)
( 1)
( 1)
1
3
33
3
3333 33
,
−
−
−
−
ξ
ξ
ξ
=< ε > = − < ε > ( < σ >
n
n
n
n
KL KL
ξ
Z
C
1, 2, 3, ... ;
=
n
( 1)
( 1)
( )
( 1)
3
3
3,
2
,
−
−
−
α
α ξ
α α α ξ α α ξ
= < ε > (
< > − < >
n
n
n
n
ξ
H O ξ
O ξ
2, 3, ... .
=
n
(34)
Выражение решения первого приближения через нулевое
приближение.
С практической точки зрения для достижения прием-
лемой инженерной точности вычислений для напряжений
IJ
σ
доста-
точно ограничиться только нулевым и первым приближениями
(0)
IJ
σ
и
(1)
,
IJ
σ
для сдвиговых напряжений
3
I
σ
минимально необходимым
является второе приближение, а для поперечных напряжений
33
σ
—
третье приближение. Найдем для них явные формулы через функции
нулевого приближения.
Подставив выражения (22) и (27) в (31), получаем для сдвиговых
напряжений
(1)
3
α
σ
и нормальных напряжений
(1)
33
σ
первого приближе-
ния следующие формулы, выражающие их через деформации нуле-
вого приближения
(0)
:
KL
ε
(1)
(0)
(0)
(0)
(0)
3
1 2
,
,
(0)
(0)
(0)
,
,
({ } (
) { } (
)
({ }
{ } ) ),
1, 2;
α
αα ξ β
α
ξ α β
αβ
ξ α β
ξ β α
αβ
ββ
σ = −
ε
(
ε
(
(
−
ε α =
KL
KL
KL
KL
KL
KL
KL
O O C H
C H
C H C H
(35)
(1)
(0)
(0)
(0)
33
1 13 11
2 23 22
(
{ }
{ } ) .
ξ
ξ
σ =
(
ε
KL
KL KL
O H C O H C
(36)
Здесь учтено, что деформации
(0)
KL
ε
и параметры Ламе
H
β
не зависят
от координаты
,
ξ
а зависят от нее только модули упругости
(0)
.
ijkl
C