Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией …
3
M
г
(
ω
) =
ω
×
(
J
ω
) — гироскопический момент, а
0
n
×
m
— нулевую мат-
рицу размерности
n
×
m
.
Объект (2.1) представляет собой нелинейную нестационарную
САР с семимерным вектором состояния
x
T
= [
λ
0
– 1,
λ
T
,
ω
T
] и трех-
мерным вектором управления
u
=
M
у
.
Рассмотрим угловое движение КА за промежуток времени
h
,
равный длительности одного вычислительного такта БЦВМ. Будем
считать, что на момент начала каждого вычислительного такта из-
вестно значение вектора состояния
x
. При этом соответствующие
значения параметров движения
Λ
и
ω
могут быть измерены на
борту КА с помощью различных датчиков либо получены расчет-
ным путем в результате численного интегрирования уравнений
движения. Условимся значения параметров объекта в начале такта
обозначать верхней чертой над символом переменной величины,
например,
x
=
x̅
.
В рамках рассматриваемого вычислительного такта длительно-
стью
h
произведем линеаризацию первого слагаемого в правой части
уравнения (2.1). Для этого кинематические уравнения, записанные в
виде (1.4), заменим приближенными равенствами
(
)
T
0
0
0, 5 ,
0,5
,
⎧λ ≈ − ⎪
⎨
≈ λ +
⎪⎩
ω λ
λ
ω Lω
(2.2)
а суммарный возмущающий момент, как векторную функцию от ска-
лярных и векторных аргументов, разложим в ряд Тейлора в окрест-
ности положения
x̅
, отбросив слагаемые второго и более высоких по-
рядков малости:
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0 0
, ,
,
λ
λ
≈ + λ − λ +
− +
−
λ
ω
M λ ω M M
M λ λ M ω ω
(2.3)
где
(
)
0
, ,
= λ
M M λ ω
— значение функции
(
)
0
, ,
λ
M λ ω
, а
(
)
0
0
0
, ,
λ
λ
= λ ′
M M λ ω
,
(
)
0
, ,
= λ′
λ
λ
M M λ ω
и
(
)
0
, ,
= λ′
ω ω
M M λ ω
— зна-
чения матриц Якоби, содержащих частные производные от данной
функции соответственно по аргументам
0
λ
,
λ
и
ω
, в точке с коор-
динатами
(
)
0
, ,
λ
λ ω
.
Подставив выражения (2.2) и (2.3) в матричное дифференциаль-
ное уравнение (2.1) и заменив их строгими равенствами, получим ку-
сочно-линейную модель углового движения ВА, которая на каждом
вычислительном такте будет выглядеть следующим образом:
