Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией …
5
( )
(
)
{
}
7
ˆ
ˆ
eig
: det
0
j
j
= ν ∈
ν − =
A
E A
C
могут найтись такие значения
v̂
j
из множества комплексных чисел
,
что Re
v̂
j
> 0.
С помощью пакета Symbolic Math Toolbox в среде Matlab [5]
установлено, что rank[
B
,
AB
, …,
A
6
B
] = 7, если
3 1
×
≠
ω 0
. А поскольку
случай равенства нулю всех трех компонент угловой скорости (полу-
ченной с датчиков) на практике невозможен, рассматриваемая САР
(3.1) полностью управляема согласно критерию Калмана.
Требуется найти закон управления
Δ
u
= –
K
Δ
x
, характеризуемый
матрицей регулятора по состоянию
3 7
,
×
∈
K
такой, чтобы все семь
элементов
v
j
спектра ЗСАР eig(
A
–
BK
) = {
v
j
∈
: det(
v
j
E
7
–
–
A
+
BK
) = 0} лежали в открытой левой полуплоскости на ком-
плексной плоскости
,
т. е. для любого
j
выполнялось неравенство
Re
v
j
< 0.
При решении поставленной задачи будем использовать понятия
левого делителя нуля максимального ранга и псевдообратной матри-
цы Мура — Пенроуза.
Левым делителем нуля максимального ранга [6] для некоторой
действительной матрицы
n m
×
∈
B
ранга
r
<
n
называется матрица
,
⊥
B
одновременно удовлетворяющая следующим двум условиям:
(
)
rank
.
n r m
n r
⊥
⊥
− ×
=
= −
B B 0
,
B
(4.1)
В общем случае произвольной матрице
n m
×
∈
B
ранга
r
<
n
со-
ответствует бесконечное множество левых делителей нуля макси-
мального ранга.
Псевдообратной матрицей по Муру — Пенроузу [6] для некото-
рой действительной матрицы
n m
×
∈
B
называется матрица
B
+
, одно-
временно удовлетворяющая следующим четырем критериям (двум
условиям регулярности и двум условиям симметричности):
T
T
,
(условия регулярности);
(
)
, (
)
(условия симметричности).
+
+ +
+
+
+
+
+
=
=
=
=
BB B B B BB B
BB BB B B B B
(4.2)
Псевдообратная матрица всегда определяется однозначно.
В случае если ранг матрицы
B
равен числу ее столбцов, псевдо-
обратная матрица
B
+
находится аналитически по формуле
B
+
=
= (
B
T
B
)
–1
B
T
.
Если ранг матрицы B соответствует числу строк, то
справедлива аналогичная формула
B
+
=
B
T
(
BB
T
)
–1
. Для квадратной
невырожденной матрицы B псевдообратная матрица совпадает с об-
ратной матрицей:
B
+
=
B
–1
.
