Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией …
7
ритмом ТРП следует выполнить скелетное разложение [8] матрицы
B
2
и перезапустить алгоритм ТРП на текущем шаге.
Для того чтобы выполнить скелетное разложение, представим
матрицу B
2
в виде произведения двух матриц:
2
2 2
ˆ
=
B B T
,
(4.3)
где ранг первого множителя
B̂
2
совпадает с числом столбцов, а ранг
второго множителя
T
2
— с числом строк. Поскольку исходная мат-
рица
B
2
содержит одну строку и rank
B
2
= 1
2
rank 1
=
B
, в формуле
(4.3) можно положить
B̂
2
= 1 и
2
2
=
T B
. Очевидно, что такое разло-
жение будет являться скелетным.
Используя разложение (4.3), осуществим «перезапуск» алгоритма
ТРП на втором уровне декомпозиции.
Второй модифицированный уровень
2
2
2
ˆ
ˆ 0,
1;
= =
=
A A B
1
2
2
ˆ
ˆ
1.
+
−
= =
B B
Далее проводится расчет матриц регуляторов, соответствующих
каждому из трех введенных уровней декомпозиции.
Назначим три матрицы
1 1
2
×
∈
Φ
C
,
3 3
1
×
∈
Φ
C
и
3 3
0
×
∈
Φ
C
, соб-
ственные значения которых образуют в совокупности желаемый
спектр ЗСАР (3.1), т. е.
(
)
( )
( )
( )
2
1
0
eig
eig
eig
eig
− =
A BK Φ Φ Φ
∪
∪
.
На втором модифицированном уровне матрица регулятора K̂
2
определяется обычным образом в соответствии с классическим алго-
ритмом ТРП:
2
2 2
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
+
+
= − = −ϕ
K B A Φ B
(4.4)
где
Φ
2
=
ϕ
2
, а
ϕ
2
— некоторое действительное число.
Введем в рассмотрение матрицу
2
+−
T
, удовлетворяющую условию
2 2
1
+−
=
T T
.
(4.5)
Поскольку
( )
(
)
(
)
2
2
2 2
2
2 2 2 2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
eig
eig
eig
+−
=
−
=
−
=
Φ A B K A B T T K
(
)
2
2 2 2
ˆ
eig
,
+−
=
−
A B T K
матрица регулятора
2
K
на втором классиче-
ском уровне определяется по формуле
2
2 2
ˆ
+−
=
K T K
.
(4.6)
Заметим, что для выполнения тождества (4.5) достаточно положить
2
2
+−
+
=
T T
, т. е. использовать псевдообратную матрицу
