М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко, Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин
10
где
1 2
1
1
1
2 1
2
1
2
1 1
1 2
1
1
2
1
T T
T T
T T
T T
T T
T T
T T T T
T T
T T
T T
T T
m
m
m
m
m
m
m m
m
m
m m
n
A A
A A
A A
A A
n
A A
A A
A A
A A
n
A A
A A
A A
A A
n
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
M
T T
T T
T T
T T
T T T T
T T T T
T T
T T T T
T T
I
I
I
I
.
(42)
Матрица (42) обладает следующими
свойствами
:
1.
Размеры матрицы
M
равны
mn mn
×
, т. е.
mn mn
×
∈
M
.
2.
Ранг матрицы
M
равен размерности пространства состояний
n
, т. е.
rank
n
=
M
.
3.
Матрица
M
имеет ровно
n
собственных значений равных
n
и
( 1)
n m
−
собственных значений равных 0, т. е.
( 1)
eig
0...0 , ...
n m
n
m m
−
⎧
⎫
⎪
⎪
= ⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
M
.
4
. Максимальный ранг левого делителя нуля матрицы
M
равен
( 1)
n m
−
, т. е.
rank
( 1)
L
n m
⊥
= −
M
.
К сказанному необходимо добавить, что, следуя
альтернативе
Фредгольма
, нетрудно показать, что разрешимость (совместность)
линейного матричного неравенства (41) эквивалентна разрешимости
(совместности) линейного матричного уравнения
0
L
X
⊥
=
M
(43)
и линейного матричного неравенства
(1)
( )
m
X
⎛
⎞ α
⎜
⎟
> − ⎜
⎟
⎜
⎟ α⎝
⎠
.
(44)
Таким образом, теорема 1 принимает следующий вид.
