Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

11 / 26

Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…
11
Прогиб зависит от  уже нелинейно с точностью до членов пер-
вого порядка малости:
          0 0
3 3 ;     
J KL KL J u u x S x           0 0
3 3 .     
J KL KL J u u x S x (39)
Решение локальных задач первого приближения. Запишем ре-
шение задачи первого приближения (30) относительно напряжений [12]:
       
0 1 0 0 0 0
3 ,
0,5
( ) ;


       
I KL J IJKL IJKL C C d  
0 1
33 0;  
       
0 1 0 0 0 0 0
, ;       
IJ IJKL KL IJKLM KL M C N (40)
   
0 1 0 0 0
, Ф .     
KL KL KLMNS MN S
Здесь функции обозначены следующим образом:
     
0 0 0 Ф ;    IJKLM IJKLM IJPS PSKLM N N C
     
0 0 0 1
3 3 3
0,5
( ) ;



      
IJKLM IJk k P PMKL PMKL N C C C C d
 
0 0 0
3, ;   KL KL u       ;         
KLMNS KLMNS KLMNS Ф Ф Ф (41)
   
1 1
3 3 3 3 3
0,5
Ф .

 

         KLMNS K i SL L i SK i MN C C C d
Поскольку  
0 0
3 0,  i
 
0 1
33 0   и из коэффициентов  1 
mk B отличны
от нуля только  1
31

B и  1
32

B ,
   0 1 1 0.
imk jm jkB     (42)
Тогда решение локального уравнения устойчивости первого при-
ближения в системе уравнений (30) вместе с граничными условиями
на S  и 0,5    имеет вид
                 
1 0 0 0 0 0 0 0 0
, , 3
0,5
.
imk jm jm iJ J iJ J i jk jk B B d


               (43)
Подставляя в формулу (43) соотношения (36), а также учитывая,
что  
0 0
3 0,  i получаем