4 / 23
Е.В. Кирилюк, М.Н. Степанов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 3
⋅
2016
Тяга двигательной установки (ДУ), фигурирующая в системе (1),
с учетом нормирования, рассчитана следующим образом:
β
=
P w
,
где
w
— скорость истечения.
Множество допустимых управлений задано условиями
θ [0, 2π]
∈
;
π π
γ
,
2 2
∈ −
;
max
β [0, β ]
∈
. (2)
В начальный момент времени
0
=
t t
ОБ находится на круговой
НОО высотой
h
над поверхностью Земли. Модель Земли — сфера
радиусом
3
6371
=
R
км. Плоскость исходной орбиты наклонена к
плоскости экватора под углом
i
; начальную плоскость определяем
единичным вектором нормали
(sin sin Ω, sin cos Ω, cos )
n i
i
i
−
.
Граничные условия (ГУ) на левом конце траектории имеют вид:
(
)
( )
(
)
0
0
0
0
0
0
μ
( )
, ( )
( )
, ( ) 1,
,
( ) 0, , ( ) 0, , ( ) 0.
≡ +
≡ =
=
+
=
=
=
з
o
з
r t
R h V t
V h
m t
R h
r V t
r n t
V n t
(3)
Положение ОБ после его выведения на целевую орбиту в
нефиксированный заранее момент времени
=
t T
задано следующими
ГУ в кеплеровых элементах на правом конце траектории:
( )
, ( )
, ( )
, Ω( ) Ω , ω( ) ω
k
k
k
k
k
a T a e T e i T i
T
T
=
=
=
=
=
. (4)
Под задачей оптимального управления будем понимать поиск
программы изменения вектора тяги
( )
P t
, т. е. такого управления
T
( ) θ( ), γ( ),β( )
u t
t
t
t
=
, которое в конце участка выведения при
выполнении ГУ (3), (4) и ограничений (2) обеспечивает минимум
функционала вида
( )
= −
I T km T
. (5)
Данный функционал представляет собой компромисс между
затратами на выведение массы и затратами на сокращение времени
полета [4], [5]. Коэффициент
k
[с] выступает как регулятор
компромисса. При стремлении его к предельным значениям получаем:
при
min min
,
0
→ ≥
k k k
— предельный переход к задаче
быстродействия: конечная масса будет стремиться к абсолютному
минимуму, соответствующему наискорейшему выведению;
при
→ ∞
k
— предельный переход к задаче выведения с
минимальным расходом массы топлива: конечная масса будет
стремиться к абсолютному максимуму без учета ограничения на
время выведения.