2 / 19
А.А. Грешилов
2
= .
Ax y
(1)
Задача (1) считается
поставленной корректно
, если ее решение
удовлетворяет следующим требованиям (
условиям Адамара
):
решение существует для любого
Q F
A
y
(
условие разреши-
мости уравнения
);
решение единственно в
U
(
условие однозначности
);
решение непрерывно зависит от
y
, т. е. если приращения
y
стремятся к нулю, то изменения решения
x
также стремятся к нулю
(
условие устойчивости
).
Иначе говоря, задача решения уравнения (1) корректна, если су-
ществует однозначное и непрерывное отображение
1
A
, область
определения которого
1
D Q F
A A
.
Если нарушается хотя бы одно из перечисленных требований, за-
дача решения уравнения (1) становится
некорректно поставленной
.
В общем случае решение
1
1
1
x A y
не обладает свойством
устойчивости к малым изменениям правой части
1
( )
x
y
. В качестве
меры некорректности задачи выступают
числа обусловленности
матрицы системы.
Родоначальником
методов решения некорректных задач
явля-
ется А.Н. Тихонов. Первые некорректные задачи решены в 1940-х
годах. Большое развитие они получили после 1960-х годов.
Задача нахождения приближенного решения уравнения (1),
устойчивого к малым изменениям его правой части, сводится:
к нахождению регуляризирующих операторов;
определению параметра регуляризации
[1] по дополнительной
информации о задаче, например по значению погрешности
, с кото-
рой задается правая часть уравнения
y
.
Регуляризирующие алгоритмы могут быть получены, если ис-
пользовать идею стабилизации минимума уклонения
х
. Функционал
( )
x
, определенный на непустом множестве
U U
, так называе-
мый
стабилизатор
, вводится, если:
0
x
для всех
U
x
;
множество
:
,
C
U
C
x x
x
является
-компактным
при любом
const 0
C
, т. е. из любой последовательности
k
C
x
можно выбрать подпоследовательность
x
ku
,
-сходящуюся к
некоторой точке
C
x
;
множество
*
*
U U U
, где
*
U
множество точек мини-
мума функции
2
( )
( x, )
F
J
x
A y
, не пусто.