10 / 14
В.М. Дубровин, Т.А. Бутина
10
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
основания, применение вариационного метода предоставляет широ-
кие возможности.
В частности, для практического использования можно рассматри-
вать одну из наиболее простых моделей упругого основания — модель с
двумя упругими характеристиками, которая описывается уравнением
(9). Учитывая, что внешняя нагрузка
( )
q x
приложена только к поверх-
ности упругого основания,
1
( )
q x
определяем по формуле
1
1
( ) ( ) (0).
q x q x
= ψ
(13)
Поскольку из физических соображений следует, что рассматри-
вается тонкий слой упругого основания
(
)
H R
<<
, то согласно фор-
мулам (8) и (13), имеем
1
(0) 1
ψ =
и, следовательно,
1
( )
q x
совпадает с
поверхностной нагрузкой
( ).
q x
После некоторых преобразований уравнение (9) может быть све-
дено к виду
1
1
2
0,
tV kV q
− + =
′′
(14)
где
11
2
;
1
Es
k
=
− µ
11
;
4(1 )
Er
t
=
( µ
k
,
t
— коэффициенты упругой податли-
вости упругого основания (коэффициенты постели).
При этом коэффициент
k
определяет работу упругого основании
на сжатие, коэффициент
t
— на сдвиг. Коэффициент
t
означает, что
поперечные перемещения возникают в упругом основании не только
под местом приложения нагрузки, но и за его пределами. Следует
отметить, что в том случае, когда упругое основание работает только
на сжатие без сдвига (усилиями сдвига пренебрегаем по сравнению с
усилиями сжатия либо упругое основание выполнено таким образом,
что обеспечивается выполнение такого условия), то оно может быть
приведено к известной модели Винклера, характеризующейся лишь
одним коэффициентом упругой податливости
K
.
Действительно, положив в исходных уравнениях равновесия (3)
0
xy
τ =
и выполнив аналогичные преобразования, будем иметь вме-
сто (9) и (14) соотношение
3
11 1
1
0
s V
q
E
− µ
− +
=
или
1
0.
kV q
− + =
Последнее соотношение описывает известную гипотезу Винклера,
определяющую соответствие между деформациями упругого основа-
ния и реакциями опор этого основания.