4 / 14
В.М. Дубровин, Т.А. Бутина
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
1
( , )
( , ) ( ),
n
k
i
k
x y
V x y y
=
υ =
ψ
∑
1, 2, ..., .
k
n
=
В формулах (2) функции
( )
i
U x
и
( )
k
V x
будем считать неизвест-
ными, функции
( )
i
y
ϕ
,
( )
i
y
ψ
определяются из физических соображе-
ний. Причем размерность функций
( )
i
U x
и
( )
k
V x
принимаем равной
размерности исходных функций
( )
u x
и
( )
x
υ
, в то время как функции
( )
i
y
ϕ
и
( )
i
y
ψ
являются безразмерными. По физическому смыслу
функции
( )
i
U x
и
( )
k
V x
— обобщенные перемещения, так как каждая
из
m
функций
( )
i
U x
для каждого сечения
const
x
=
упругого тела
обобщенно характеризует продольное перемещение
( , ).
u x y
Анало-
гично и для функций
( ).
k
V x
Распределение продольных и попереч-
ных перемещений по сечениям
const
x
=
характеризуется функциями
( )
i
y
ϕ
и
( )
i
y
ψ
, т. е. эти функции можно назвать функциями попереч-
ного распределения перемещений.
Функции
( )
i
y
ϕ
,
( ),
i
y
ψ
аппроксимирующие деформированное
состояние упругого основания, могут быть выбраны из условия их
линейной независимости и соответствия физическому содержанию
задач. Представление исходных перемещений в виде разложений (2)
при конечных числах
m
и
n
означает сведение упругого элемента к
системе с конечным числом степеней свободы в поперечном направле-
нии при сохранении бесконечного числа степеней свободы в продоль-
ном направлении. Такие системы носят название дискретно-континуаль-
ных в отличие от расчетных моделей, описываемых дифференциальны-
ми уравнениями в частных производных, т. е. представляемыми как
двумерные деформируемые тела, имеющие бесконечное число сте-
пеней свободы по обеим переменным. Использование разложения (2)
позволяет свести исходную двумерную задачу к одномерной задаче
отыскания функций
( )
i
U x
и
( ).
k
V x
Определение обобщенных перемещений
. Для определения
( )
i
U x
и
( )
k
V x
используем условия равновесия выделенного элемен-
та. Под условием равновесия понимаем равенство нулю суммарной
работы всех внутренних и внешних сил на виртуальных перемещени-
ях. По отношению к выделенному элементу роль внешних сил игра-
ют напряжения
,
x
σ
,
x
x
dx
x
∂σ σ +
∂
,
xy
τ
,
xy
xy
dx
x
∂τ
τ +
∂
возникающие от
взаимодействия элемента с отброшенными частями, а также заданная
нагрузка, компоненты которой в направлении осей
х
и
у
соответ-
ственно равны
( , )
p x y
и
( , )
q x y
.