6 / 14
В.М. Дубровин, Т.А. Бутина
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
( , ),
p x y
( , )
q x y
определяются как обобщенные продольные и попе-
речные погонные (отнесенные к единице длины) силы:
( , )
;
j
i
p p x y dy
=
ϕ
∫
( , )
.
n
n
q q x y dy
=
ψ
∫
Величины
j
p
и
n
q
представляет собой работу заданных продольных
и поперечных нагрузок соответственно перемещениям
i
ϕ
и
n
ψ
. При
рассмотрении работы упругого основания массовые силы, распреде-
ленные по высоте основания, можно не учитывать, предполагая, что
упругое основание работает только под нагрузкой, приложенной к ее
поверхности. В этом случае свободные члены уравнений (5) имеют
вид
( ) (0);
j
j
p p x
= ϕ
( ) (0),
n
n
q q x
= ψ
где
( ),
p x
( )
q x
— сдвигающие и нормальные поверхностные силы;
(0),
j
ϕ
(0)
n
ψ
— значение функций
( )
j
y
ϕ
и
( )
n
y
ψ
на поверхности
упругого основания при
у
= 0.
Таким образом, система обыкновенных дифференциальных урав-
нений (5) позволяет определить НДС упругого основания, принима-
емого за линейно-деформированную среду конечной толщины
H
, в
условиях плоской деформации. При ограниченном числе членов в
разложении (2) решение системы уравнений (5) можно рассматривать
как известное приближение к точному решению теории упругости.
Вместе с тем можно считать, что дифференциальные уравнения (5)
характеризуют некоторую обобщенную модель упругого основания,
построенную на базе общего вариационного метода. Действительно,
выбирая для ограниченного числа функций
i
ϕ
и
k
ψ
различные вы-
ражения, будем получать ряд моделей упругого основания, прибли-
женных с точки зрения теории упругости, но достаточно точных с
точки зрения практических задач. Увеличивая число членов в разло-
жении (2), можно повысить точность решения. Однако такое увели-
чение обусловливает повышение порядка системы уравнений (5), т. е.
ведет к усложнению решения. Более рационально можно повысить
точность решения путем выбора функций распределения поперечных
перемещений
i
ϕ
и
k
ψ
в соответствии с конкретными представлени-
ями о возможном характере распределения перемещений по высоте
упругого основания.
В рассматриваемом случае задача может быть значительно
упрощена в связи с тем, что основную роль в работе упругого осно-
ваний играют поперечные перемещения (по оси
y
). Поэтому про-
дольными перемещениями (по оси
x
) по сравнению с поперечными
можно пренебречь. Кроме того, из условия задачи очевидно, что