5 / 14
Моделирование деформирования упругого основания…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016 5
В общем случае уравнение равновесия примет вид [12–14]
0;
x
xy
UdF
dF pudy
x
∂p − τ d +
=
∂
∫
∫
∫
(3)
2
0,
xy
y
dF
dF q dy
x
∂q
− σ ξ +
=
∂
∫
∫
∫
υ
υ
где
1
dF dy
= δ
— дифференциал площади поперечного сечения выде-
ленного элемента.
Напряжения в соответствии с формулами (1) при представлении
перемещений (2) можно записать следующим образом:
2
1
1
;
1
m
n
x
i i
k k
i
k
E U
V
=
=
σ =
ϕ + µ ψ′
− µ
∑ ∑
2
1
1
;
1
n
m
y
k k
i i
k
i
E V
U
=
=
σ =
ψ + µ ϕ
′
′
− µ
∑ ∑
(4)
1
1
.
2(1 )
m
n
xy
yx
i i
k k
i
k
E U V
=
=
τ = τ =
ϕ ( ψ ′
′ ′
( µ
∑ ∑
Учитывая соотношения (4), из уравнения равновесия можно по-
лучить
m
+
n
обыкновенных дифференциальных уравнений относи-
тельно функций
( )
i
U x
и
( )
k
V x
вида
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0;
2
2
1
1
1
0.
2
2
m
m
n
ij i
ij i
ik
ik k
j
i
i
k
m
n
n
hi
hi
i
hk k
hk
h
i
k
k
a U
b U t
C V
p
E
t
C U
r V s V q
E
=
=
=
=
=
=
− j
− j
− j
−
+ j −
+
=
′′
′
− j
− j
− j
− j −
+
−
+
=
′
′′
∑ ∑ ∑
∑
∑ ∑
(5)
В уравнениях (5) введены следующие коэффициенты:
,
ij
ji
i j
a a
dF
= = ϕ ϕ
∫
,
ij
ji
i j
b b
dF
= = ϕ ϕ′ ′
∫
;
ik
i k
C
dF
= ϕ ψ′
∫
,
hi
k i
C
dF
= ψ ϕ′
∫
,
ik
i k
t
dF
= ϕ ψ′
∫
;
hk
k k
t
dF
= ψ ϕ′
∫
,
hk kh
h k
r r
dF
= = ψ ψ
∫
.
hk
kh
h k
s s
dF
= = ψ ψ′ ′
∫
Физический смысл этих коэффициентов может быть интерпретиро-
ван как своего рода обобщенные моменты инерции. Свободные чле-
ны
j
p
,
n
q
в уравнениях (5) при заданных компонентах нагрузок